当x—>0时的(1+sinx)^1/2-1~sinx~x————同济五版习题1—7 4（4）课后答案给出的但又有公式（1+x）^α-1~αx,那么因为有x—>0时sinx—>0,那么可运用公式得(1+sinx)^1/2-1~1/2sinx~1/2x,到底哪个对?还是公式

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 06:42:52

当x—>0时的(1+sinx)^1/2-1~sinx~x————同济五版习题1—7 4（4）课后答案给出的
但又有公式（1+x）^α-1~αx,那么因为有x—>0时sinx—>0,那么可运用公式得(1+sinx)^1/2-1~1/2sinx~1/2x,
到底哪个对?还是公式运用的不对?

答：
(1+sinx)^(1/2) -1
=√(1+sinx) -1
=√[(sinx/2+cosx/2)^2] -1
=| sin(x/2)+cos(x/2) | -1
x趋于0,原式=x/2+1-1=x/2=sin(x/2)
f(x)=√(1+sinx)-1对x求导：
f'(x)=(1/2)*cosx /√(1+sinx)
x趋于0,f'(x)趋于1/2
因此f(x)~x/2
所以：后面的对,课后答案不对

两个都错了，正确的公式是，x趋向于0，(1+x)^(1/n)-1=x/n,把x看作sinx，n取2,(1+sinx)^(1/2)-1=x/2。。。。第二个是我打错了，其实是想打x/2。
第一个怎么证等价无穷小是x/2啊？请给个步骤我学的教材（同济大学数学系编第六版）上有(1+x)^(1/n)-1=x/n的证明，把x看作sinx就是本题。
以下给出能运用于其他公式的更一般的证明（也能...

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两个都错了，正确的公式是，x趋向于0，(1+x)^(1/n)-1=x/n,把x看作sinx，n取2,(1+sinx)^(1/2)-1=x/2

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