已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1).1,求函数f(x)在【-1,1】上的解析式2,判断f(x)在（0,1）上的单调性,并证明3,当t取何值时,方程f(x)=t在【-1,1】上有实数解.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 22:06:23

已知f(x)为定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1).
1,求函数f(x)在【-1,1】上的解析式
2,判断f(x)在（0,1）上的单调性,并证明
3,当t取何值时,方程f(x)=t在【-1,1】上有实数解.

1.-1

-1则f(-x)适用2^x/(4^x+1)
f(-x)=2^-x/(4^-x+1),上下乘4^x
=4^x*2^-x/(1+4^x)
=2^x/(4^x+1)
所以f(x)=-f(x)=-2^x/(4^x+1)
奇函数,f(0)=0
所以-1x=0,f(x)=0<...

全部展开

-1则f(-x)适用2^x/(4^x+1)
f(-x)=2^-x/(4^-x+1),上下乘4^x
=4^x*2^-x/(1+4^x)
=2^x/(4^x+1)
所以f(x)=-f(x)=-2^x/(4^x+1)
奇函数,f(0)=0
所以-1x=0,f(x)=0
00f(a)-f(b)=2^a/(4^a+1)-2^b/(4^b+1)
=[2^a(4^b+1)-2^b(4^a+1)]/(4^a+1)(4^b+1)
分母大于0
2^a(4^b+1)-2^b(4^a+1)
=2^a(2^2b+1)-2^b(2^2a+1)
=2^(a+2b)+2^a-2^(2a+b)-2^b
=2^(a+b)(2^b-2^a)-(2^b-2^a)
=(2^b-2^a)[2^(a+b)-1]
b>a,2^b>2^a
a+b>0,2^(a+b)>1
所以分子大于0
所以f(a)>f(b)
f(x)在（0，1）上是减函数
-1<=x<=1
2^(-1)<=2^x<=2^1
令a=2^x,则4^x=a^2
且1/2<=a<=2
a/(a^2+1)=t=1/(a+1/a)
a>0,所以a+1/a>=2,当a=1时取等号
a+1/a是对勾函数
所以x=1是最小值，则边界是最大值
a=2和a=1/2时，a+1/a=5/2
所以2<=a+1/a<=5/2
所以2/5<=1/(a+1/a)<=1/2
所以2/5<=t<=1/2

收起