a>0,b>0,c>0,a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c

a>0,b>0,c>0,a/b+b/c+c/a=3,求证：a=b=c

利用均值不等式即可
a/b+b/c+c/a
≥3 ³√[(a/b)*(b/c)*(c/a)]
=3
当且仅当 a/b=b/c=c/a时等号成立
即当且仅当a=b=c时等号成立
∴ 等号成时,a=b=c

证明：设a/b=x³，b/c=y³，c/a=z³
则x³+y³+z³=3，x³y³z³=1
∴x³+y³+z³=3，xyz=1
而x³+y³+z³-3xyz

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证明：设a/b=x³，b/c=y³，c/a=z³
则x³+y³+z³=3，x³y³z³=1
∴x³+y³+z³=3，xyz=1
而x³+y³+z³-3xyz
=(x+y)³-3x²y-3xy²+z³-3xyz
=[(x+y)³+z³]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x²+2xy+y²-xz-yz+z²-3xy)
=(x+y+z)(x²-xy+y²-xz-yz+z²)
=(x+y+z)[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]/2
=0
∴(x+y+z)[(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²]=0
∵a、b、c>0，∴x、y、z>0
∴x+y+z>0
∴(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0
∴x-y=y-z=z-x=0
∴x=y=z
∴a/b=b/c=c/a
∴a²=bc，b²=ac，c²=ab
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
∴a-b=b-c=c-a=0
∴a=b=c
不懂可追问，有帮助请采纳

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