作业帮求函数f(x)=-(1/2)^2x+4(1/2)^x+5的单调区间和值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 01:46:06
求函数f(x)=-(1/2)^2x+4(1/2)^x+5的单调区间和值域
都是(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
单调减
原式
f(x)=-[(1/2)^x]^2+4(1/2)^x+5
f(x)=-{[(1/2)^x]^2-4(1/2)^x+4-4}+5
f(x)=-[(1/2)^x-2]^2+4+5
f(x)=-[(1/2)^x-2]^2+9
因为(1/2)^x这个式子随着x的增大而它的值反而减小，所以(1/2)^x-2这个式子越来越小，所以[(1/2)^x-2]^...
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原式
f(x)=-[(1/2)^x]^2+4(1/2)^x+5
f(x)=-{[(1/2)^x]^2-4(1/2)^x+4-4}+5
f(x)=-[(1/2)^x-2]^2+4+5
f(x)=-[(1/2)^x-2]^2+9
因为(1/2)^x这个式子随着x的增大而它的值反而减小，所以(1/2)^x-2这个式子越来越小，所以[(1/2)^x-2]^2也同样是越来越小，而在这个式子前面加个负号，则说明越来越大，那么f(x)=-[(1/2)^x-2]^2+9同样越来越大，那么它的单调区间从(-∞,+∞)是单调递增的，
这个式子直接看值域不好看的，所以换种方法做，求函数f(x)的反函数，因为反函数的定义域就是原函数的值域，
令y=f(x)
y=-[(1/2)^x-2]^2+9
y-9=-[(1/2)^x-2]^2
9-y=[(1/2)^x-2]^2
根号下(9-y)=(1/2)^x-2
根号下(9-y)+2=(1/2)^x
x=log(1/2为底)(根号下(9-y)+2为真数)
然后将x、y对调，
y=log(1/2为底)(根号下(9-x)+2为真数)
f'(x)=log(1/2为底)(根号下(9-x)+2为真数)
反函数的定义域是
根号下(9-x)>=0
根号下(9-x)+2>0
9-x>=0
x<=9
所以原函数的值域是(-∞,9]
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