作业帮已知向量a=(5√3cosx,cosx),b=(sinx,2cosx)函数f(x)=ab+b^21.求函数f(x)的最小正周期2.当π/6≤x≤π/2时,求函数f(x)的值域
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/06/02 05:35:40
已知向量a=(5√3cosx,cosx),b=(sinx,2cosx)函数f(x)=ab+b^2
1.求函数f(x)的最小正周期
2.当π/6≤x≤π/2时,求函数f(x)的值域
f(x)=a·b+b²=5√3cosxsinx+2cos²x+sin²x+4cos²x
=5sin(2x+π/6)+7/2
函数f(x)的最小正周期 π
当π/6≤x≤π/2时,2x+π/6∈[π/2,7π/6]
5sin(2x+π/6)+3.5∈[1,17/2]
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f(x)=ab+b^2
=5√3·cosx·sinx+4·cos^2 x
=(5√3 /2)sin2x +2cos2x +2
=√[(5√3 /2)^2 +4]· sin(2x+φ) +2
=(9/2)· sin(2x+φ) +2,
其中tan φ=2/(5√3 /2) =4√3 /15.
则:函数f(x)的最小正周期是T=...
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f(x)=ab+b^2
=5√3·cosx·sinx+4·cos^2 x
=(5√3 /2)sin2x +2cos2x +2
=√[(5√3 /2)^2 +4]· sin(2x+φ) +2
=(9/2)· sin(2x+φ) +2,
其中tan φ=2/(5√3 /2) =4√3 /15.
则:函数f(x)的最小正周期是T=2π/2=π.
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π/6≤x≤π/2则
π/3≤2x≤π.则
π/3+φ≤2x+φ≤π+φ
tan φ=1/(5√3 /2) =4√3 /15<√3 /3,则0<φ<π/6.
∴由正弦函数的性质,在[π/3+φ,π/2]上,函数单减;
在(π/2,π+φ]上,函数单增.
于是得到结论:
函数f(x)=ab+b^2=(9/2)· sin(2x+φ) +2
的最小值是:fmin=(9/2)·(-1) +2=-5/2.
则:比较:
f(π/3)
=(5√3 /2)sin(2π/3) +cos(2π/3) +2
=(5√3 /2)·(√3 /2) -1/2 +2
=21/4;
f(π)
=(5√3 /2)sin(2π) +cos(2π) +2
=3.
得到结论:f(x)的最大值是21/4.
则函数f(x)的值域是
[-5/2,21/4]
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