四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 22:47:11

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB
是否存在一点Q,使得点Q到棱锥所有顶点的距离相等

（图我就不画了,具体我会文字说明.）
取BC中点O,取AB中点E,连接OE、PE,连接AC、AO.
三角形ABO是正三角形,四边形AOCD是平行四边形.
AB=BC/2,∠ABC=60,
三角形ABC是直角三角形,BC为斜边.
从以上条件可得四棱锥P-ABCD中,底面ABCD四点共圆,圆心在点O,BC为直径,
容易知道圆O的半径=AB.
平面PAB⊥平面ABCD,由于PA⊥PB,ABP三点共圆,圆心在E,半径=AB/2.
OE是正三角形ABO中AB边对应的高,OE⊥AB,OE⊥平面PAB,
OP^2=EP^2+OE^2 （勾股定理）
又EP=AB/2,OE=(2分之根号3)AB,
OP=AB.
所以四棱锥P-ABCD各个顶点共球,球心在O,球的半径=AB.
点O即为所求Q点.

存在这样的点：BC的中点就是。
思路：到各顶点距离相等，也就是外接球的球心有这样的性质，换言之，四棱锥的各顶点是否在同一球面上。
假设有，且四棱锥的外接球是球Q，那么，因为PA垂直于PB，所以，截面PAB的圆心是AB的中点，（直角三角形的外心）标记为点M，那么，QM垂直于面PAB，因为面PAB垂直于面ABCD，所以，QM与AB垂直。
底面ABCD是个很特殊的梯形，标记BC的...

全部展开

存在这样的点：BC的中点就是。
思路：到各顶点距离相等，也就是外接球的球心有这样的性质，换言之，四棱锥的各顶点是否在同一球面上。
假设有，且四棱锥的外接球是球Q，那么，因为PA垂直于PB，所以，截面PAB的圆心是AB的中点，（直角三角形的外心）标记为点M，那么，QM垂直于面PAB，因为面PAB垂直于面ABCD，所以，QM与AB垂直。
底面ABCD是个很特殊的梯形，标记BC的中点为N，连AN，CN，那么，三角形ABN，ADN，CDN都是等边三角形，如果连接MN，那么：AN=BN=CN=DN=AB
稍稍计算一下，PN也等于AB，（不妨设AB=1来计算）
当然，做这个题时，没有找出Q点这么辛苦，只要这样做就OK：
存在这样的点，BC的中点就是点Q。
证明如下：balabala，有了思路，证明很简单，不重复。

收起

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,则四棱锥P-ABCD的体积为 如图在四棱锥P—ABCD中已知侧面PAD为等腰直角三角形底面ABCD为直角梯形AB...如图在四棱锥P—ABCD中已知侧面PAD为等腰直角三角形底面ABCD为直角梯形AB‖CD∠ABC=∠APD=90°.侧面PAD⊥底面ABCD.且AB=4.AP 棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A,则四棱锥P-ABCD体积为三视图在这里 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3 如图,在低面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD//BC, 四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,且PAD为正三角形.四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,且PAD为正三角形,ABCD为直角梯形,AD⊥DC,AD//BC,BC=CD=（1/2）AD.（1）求证：PC⊥BD.（2）求二面角B-PC-D大小的余弦值 在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC＝90度,面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点....在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC＝90度,面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点.求：面PQB⊥面PAD 如图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中 求解如何求体积 四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角DAB=60度,AB=AD=2CD=2,PAD垂直底面ABCD,且三角形PAD为等 如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD平行BC,AB=AD=PB如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.（Ⅰ）求异面直线 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB‖DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,PE=2E1.求证：平面PAB⊥平面PCB；2.求证：PD‖平面EAC.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD。底面ABCD为梯形,A 如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形, AD‖BC,AB⊥BC如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.(1)求证△BDC是等腰 四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD垂直底面ABCD 几道空间几何题1.四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD,CD垂直于AD,CD=2AB,E为PC中点,求证：（1）平面PDC垂直于平面PAD（2）BE平行于平面PAD2.在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为 如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直角梯形,AD‖BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱P例3：(2004江苏南京模拟题)（本小题满分12分） 如图,四棱锥P—ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD.底面ABCD为直 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形、面PAD⊥面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,求证：PE垂直面ABCD 如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1/2AD,求证：平面PAC⊥平面PCD