定点A（0,1）B（0,-1）C（1,0）,动点P满足：向量AP乘以向量BP=K（向量PC的平方）求（1）求P的轨迹,并说明方程表示的曲线类型（2）当K=2时,求｜2（向量AP）+向量BP｜的最值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 00:25:58

定点A（0,1）B（0,-1）C（1,0）,动点P满足：向量AP乘以向量BP=K（向量PC的平方）
求（1）求P的轨迹,并说明方程表示的曲线类型
（2）当K=2时,求｜2（向量AP）+向量BP｜的最值

1.设P(x,y)
由：向量AP 点乘 向量BP = K,K=(向量PC)²
得：
(x,y-1)(x,y+1)=(1-x,-y)²
x²+y²-1=(1-x)²+y²
化简得：
x=1,即动点P的方程.动点P是直线（过(1,0)点,平行于y轴）
2.K=2时：
x²+y²-1=2
x²+y²=3
此时,动点P轨迹是圆,圆心在坐标原点,半径√3.
同时可得到x,y此时的定义域,都是(-√3,√3).
目标函数f
=|2(向量AP)+向量BP|
=|2(x,y-1)+(x,y+1)|
=|(3x,3y-1)|
=√(9x²+9y²+1-6y)
=√(27+1-6y) …… …… x²+y²=3代入
=√(28-6y)
所以此函数f的单调性仅跟变量y相关,是关于y的减函数.
当y=√3时,f有最小值,f=√(28-6√3)
当y=-√3时,f有最大值,f=√(28+6√3)

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