证明函数f(x)=(sinx)^2在(‐∞,+∞)上是一致函数,g(x)=sin(x^2）在×(-∞,+∞)上不是一致函数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 03:53:25

证明函数f(x)=(sinx)^2在(‐∞,+∞)上是一致函数,g(x)=sin(x^2）在×(-∞,+∞)上不是一致函数.

说的应该是“一致连续”.
　　证明
　　（1）注意到
　　|[(sinx1)^2] -[(sinx2)^2]| = |sinx1 - sinx2|*|sinx1 + sinx2|
　 　 0,取 δ =ε/2 >0,对任意的x1, x2∈(-∞,+∞)：|x1 - x2| < δ,就有
　　|[(sinx1)^2] - [(sinx2)^2]| 0,对任意的 δ >0,取 k =1/(32πδ^2),x1= sqrt(2kπ), x2 = sqrt(2kπ+π/2) ∈(-∞,+∞),有
　 　|x1 - x2| = sqrt(2kπ+π/2) - sqrt(2kπ)
= (π/2)/[sqrt(2kπ+π/2) + sqrt(2kπ)]
　 　< (π/2)/[2*sqrt(2kπ)] =……< δ,
但
　 　|sin[(x1)^2] - sin[(x2)^2]| = |sin(2k π) - sin (2kπ+π/2)| = 1 > ε0,
此即证得f(x)=sin(x^2)在(‐∞,+∞)上是非一致连续.

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