已知直线l1：mx-y=0,l2：x+my-m-2=0 1求证：对m∈R,l1与l2的交点P在一个定圆上 2若l1、l2与定圆的另外两交点分别为P1,P2,求当m在实数范围内取值时,△PP1P2面积的最大值及对应的m值最好有图.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:51:38

已知直线l1：mx-y=0,l2：x+my-m-2=0 1求证：对m∈R,l1与l2的交点P在一个定圆上 2若l1、l2与定圆的另外两
交点分别为P1,P2,求当m在实数范围内取值时,△PP1P2面积的最大值及对应的m值
最好有图.

(1)
如图所示：
l1：mx－y＝0,过定点(0,0),斜率kl1＝m
l2：x＋my－m－2＝0,斜率kl2＝－1/m
=>m(y－1)＋x－2＝0
令y－1＝0,x－2＝0
得y＝1,x＝2
∴l2过定点(2,1)
∵kl1•kl2＝－1
∴直线l1与直线l2互相垂直
∴直线l1与直线l2的交点必在以(0,0),(2,1)为一条直径端点的圆上
且圆心(1,1/2),半径r＝1/2√(2²＋1²)＝√5/2
∴圆的方程为(x－1)²＋(y－1/2)²＝5/4
即x²＋y²－2x－y＝0
(2)
由(1)得：
P1(0,0),P2(2,1)
当P点在定圆上移动时,△PP1P2的底边P1P2为定值2r
当三角形的高最大时,△PP1P2的面积最大
故S△PP1P2max＝1/2•2r•r＝5/4
又l1与l2的交点为P(  (m＋2)/(m²＋1),[m(m＋2)]/(m²＋1)  )
且OP与P1P2的夹角是45°
∴|OP|＝√2 r＝√10/2
即[(m＋2)/(m²＋1)]²＋[ [m(m＋2)]/(m²＋1) ]²＝5/2
解得：m＝3或m＝－1/3
故当m＝3或m＝－1/3时,△PP1P2的面积取得最大值5/4

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