如图,抛物线y=a(x-h)的平方+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C(1)求此抛物线的解析式(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得三角形ACP是以AC为底的等腰
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/13 08:38:51
如图,抛物线y=a(x-h)的平方+k经过点A(0,1),且顶点坐标为B(1,2),它的对称轴与x轴交于点C(1)求此抛物线的解析式(2)在第一象限内的抛物线上求点P,使得三角形ACP是以AC为底的等腰三角形,请求出此时点P的坐标(3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点,若是,请说明理由,若不是,请求出符合条件的点,
(1)∵抛物线y=a(x-h)2+k顶点坐标为B(1,2),
∴y=a(x-1)2+2,
∵抛物线经过点A(0,1),
∴a(0-1)2+2=1,
∴a=-1,
∴此抛物线的解析式为y=-(x-1)2+2或y=-x2+2x+1;
(2)∵A(0,1),C(1,0),
∴OA=OC,
∴△OAC是等腰直角三角形.
过点O作AC的垂线l,根据等腰三角形的“三线合一”的性质知:l是AC的中垂线,
∴l与抛物线的交点即为点P.
如图,直线l的解析式为y=x,
解方程组
,
得
,
x2=1−52y2=1−52(不合题意舍去),
∴点P的坐标为(
,
5+12);
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.
由(1)知,点C的坐标为(1,0).
设直线AC的解析式为y=kx+b,
则
,解得
k=−1b=1,
∴直线AC的解析式为y=-x+1.
设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m.
解方程组
,
代入消元,得-x2+2x+1=-x+m,
∵此点与AC距离最远,
∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点,
即方程-x2+2x+1=-x+m有两个相等的实数根.
整理方程得:x2-3x+m-1=0,
△=9-4(m-1)=0,解之得m=
.
则x2-3x+
-1=0,解之得x1=x2=
32,此时y=
74.
∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为(
,
74).
求采纳
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抛物线y等于a平方如何平移,得到抛物线y等于x平方加k
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