导数的应用,面积、体积的最值问题.等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/31 14:29:52
导数的应用,面积、体积的最值问题.
等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
设腰长为x,底边为2y,则2x+2y=2p,所以x+y=p
题中所求几何体就是两个相等的圆锥的体积之和,
该圆锥高为y,底面面积S=派(x^2-y^2)
所以所求几何体的体积V=[2派(x^2-y^2)*y]/3
将x=p-y代入得V=[2派((p-y)^2-y^2)*y]/3
=2派(-2py^2+p^2y)/3
显然当y=p/4时V有最大值,即三角形的腰为3p/4、底边为p/2时,几何体的体积最大.
因为是以等腰三角形的底边转,所以旋转后的图形为两个圆椎体。先设三角形的腰长为X,底边为Y,则有2X+Y=2P.所以Y=2P-2X。所以依几何关系知道一个圆椎的高Y/2,它的半径为根号(X的平方减(Y/2)的平方),后根据体积公式得到一条V与XY相关的式子,将所得式子中的Y用X来表达后对所得式子求导,再让导函数等于零,得到X的值(该导函数应该是一次函数,我没有细算)带入体积函数中就可。...
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因为是以等腰三角形的底边转,所以旋转后的图形为两个圆椎体。先设三角形的腰长为X,底边为Y,则有2X+Y=2P.所以Y=2P-2X。所以依几何关系知道一个圆椎的高Y/2,它的半径为根号(X的平方减(Y/2)的平方),后根据体积公式得到一条V与XY相关的式子,将所得式子中的Y用X来表达后对所得式子求导,再让导函数等于零,得到X的值(该导函数应该是一次函数,我没有细算)带入体积函数中就可。
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导数的应用,面积、体积的最值问题.等腰三角形的周长为2p,它围绕底边旋转一周成一个几何体,问三角形的各边长分别是多少时,几何体的体积最大?
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