微积分如何表达 圆柱体体积?小弟在算圆柱体体体积时碰到难题,如果:已知圆柱体底圆半径(1.1m),卧倒后圆柱体长度为(8m)和卧倒后圆柱体内水的高度(0.87m),如何算出这时水的体积?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/30 18:11:05
微积分如何表达 圆柱体体积?
小弟在算圆柱体体体积时碰到难题,
如果:
已知圆柱体底圆半径(1.1m),卧倒后圆柱体长度为(8m)和卧倒后圆柱体内水的高度(0.87m),如何算出这时水的体积?
解法一(初等法):已知 圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
于是,由初等几何知识,
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=r²arcsin{√[r²-(r-h)²]/r}-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
于是,水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³.
解法二(微分法):已知 圆柱体底圆半径r=1.1m
圆柱体长度l=8m
圆柱体内水的高度h=0.87m
以圆柱体底面圆为方程x²+y²=r²建立坐标系
于是,根据微分学知识,
可求得圆柱体卧倒后圆柱体内水平行于圆柱体底面的截面积(月型截面)
S=2∫(r-h,r)√(r²-x²)dx (∫(a,b)表示从a到b积分)
=[r²arcsin(x/r)+x√(r²-x²)]|(r-h,r)
=πr²/2-r²arcsin[(r-h)/r]-(r-h)√[r²-(r-h)²]
≈1.39837509m²
所以,水的体积=l*S≈8*1.39837509≈2.51707516m³.
微积分如何表达 圆柱体体积?小弟在算圆柱体体体积时碰到难题,如果:已知圆柱体底圆半径(1.1m),卧倒后圆柱体长度为(8m)和卧倒后圆柱体内水的高度(0.87m),如何算出这时水的体积?
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