第二题证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 17:55:15

第二题
证明:
有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.

抽屉原理去做
有理数m/n 如果m和n都是整数,则n不为0 而且不妨把n设为正整数（因为如果n是负整数,则-n是正整数（-m）/(-n)=m/n,所以用-m,-n代替m,n即可）
现在n为除数,那么余数就只有0,1,2,…,n-1这n种可能值,是有限个.
在做除法时,如果经过有限步可除尽,那么剩下的可以认为是0的循环.
如果经过有限步不可除尽,那么余数有无限多.必有两次得到的余数会相同.而后面的结果就会开始循环.
如果你认为说,在除法的演算过程这样的说法不严谨.
你可以考虑这样说
对考虑m,10*m,...10^k *m ...有无限多个数
10^k *m除以n的余数就是在除法的演算过程中第k步的余数.
所以必有两个除以n的余数相同

用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。

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从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。
参考资料：http://home.pacific.net.hk/~kfzhou/Decimals.html

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世界有人想知道这个问题，可我不想知道。

在网吧
来不及细想
用连分数理论应该可以证明，LZ看看这方面的书吧。有理数都可以表成有限连分数。
如3/4=1/（1+1/3）

如果不循环就不叫“有理数”了

用n作除数去除m，在除法的演算过程中，余数必是0，1，2，…,n-1中的一个，而余数无穷多，因此由鸽巢原理在作除法时一定会出现相同的余数，后面的计算将会重复，于上所得的商也必然重复。
鸽巢原理也叫抽屉原理，是Ramsey定理的特例。
它的简单形式是：把n＋1个物体放入n个盒子里，则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体。...

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证明：若m/n展开十进制小数是无限不循环的，这m/n为无理数，与m/n为有理数矛盾。
若m/n是有限的，不妨设他的十进制小数为 c=b.a1a2a3…an （an≥1）
而c=b.a1a2a3…an= b.a1a2a3…a(n-1)（an-1）9999…
为循环小数。

您的意思就是证明有理数的定义了？
对不起，高数都不研究这个

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用连分数理论应该可以证明，LZ看看这方面的书吧。有理数都可以表成有限连分数。
如3/4=1/（1+1/3）

设10^k*m≡rk(mod n) 且0≤rk≤n-1 这时rk只有n种可能
当除不尽时 rk有无限多个根据抽屉原理，必然会出现重复
设重复出现在ri与rj上，既ri=rj，则ri+1≡10*ri≡10*rj≡rj+1（mod n）又0≤rk≤n-1 故ri+1=rj+1 故ri+(j-i)=rj+(j-i) 即rj=r2j-i
这样，就出现了从ri+1到rj为一次的循环...

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我要分数啊
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。

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无限循环小数
引言
欢迎光临本网页。在这个网页中，你可以学习到「无限循环小数」的概念。你亦可用本人编写的应用程序做有关无限循环小数的「数学实验」。
把分数化为无限循环小数
从小学低年班开始我们便学习分数和小数(这里指有限位小数)，并且认识到两者之间可以互相转换。把分数转换成小数实际上就是做除法。我们在小学学习除法时，很早便发现做除法可能有两种结果，有些如10/4在小数点后若干位便「除得尽」，有些则如10/3是永远「除不尽」的。我们也认识到，某些分数即使除不尽，它们也可能表现为一个无限循环小数，例如10/3=3.333...(注1)。其实，如果我们把「除得尽」的分数也看成是无限循环小数(例如10/2=5.000...)，那么我们可以把所有「规则」的分数都归为无限循环小数。接下来我们要问，是否存在「不规则」的分数，即是否存在不能表达为无限循环小数的分数呢？
在小学我们都学过圆周率π可以取22/7这个分数作为近似值。那么22/7是否无限循环小数呢？假如我们用普通的计算器算一下，发现22/7的近似结果是3.142857，似乎不循环。那么22/7是否就是一个「不规则」分数呢？答案是否定的。其实，如果我们有足够的耐性，把22/7继续算下去，我们便会发现这个分数从小数点后第7位便开始循环。这即是说，22/7实际是一个无限循环小数：
22 / 7 = 3.142857142857142857...
如果我们细心观察一下22/7的演算过程，我们便会明白为何这分数必然是循环的。在计算22/7的第一步骤中，我们先得商3和余数1。接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，得商1和余数3。接着我们把余数3倍大为30 ，然后计算30/7，得商4和余数2。接着我们又把余数2倍大为20，然后计算20/7......如此类推。因此，在计算 22/7时，我们实际上是在不断做10/7或20/7或30/7...。可是，由于任何数除以7所得的余数只有7种可能(即0、 1、2、3、4、5和6)(注2)，这样下去必然会重复出现之前的计算。当出现重复时，接着下来的计算便会跟之前做过的计算一模一样，因而出现循环小数的情况。例如，在22/7的运算中，当计算至小数点后第6位时，得商7 和余数1，接着我们把余数1倍大为10，然后计算10/7，但是此一计算在之前已做过，接下来的计算结果必然是 142857，因此22/7必然是不断重复出现142857这组数字的循环小数。
把上述讨论推广至一般情况，那么由于任何整数除以整数n，其余数只有n种可能(即0、1、2...、n - 1)，因此在进行任何整数除法时，在运算至某一阶段时，必然会重复出现之前做过的运算，这时就必定重复出现之前的计算结果，即无限循环小数。换句话说，任何分数(在高等数学中称为「有理数」Rational Number)都必然是无限循环小数。
根据上段讨论，我们还可推算出，任何整数除以整数n，最迟至小数点后第n位便必定会开始出现循环。例如在 22/7的运算中，其结果便在小数点后第7位开始出现循环。不过，n只是一个上限(即最差情况)，并非所有除法结果都会出现此「最差」情况。例如1/3的结果在小数点后第2位便开始出现循环。
上述讨论虽然只局限于整数除法，但其实也适用于涉及小数的除法，因为涉及小数的除法可以转化为整数除法。以12.5/1.05为例，只要我们把分子分母同时乘大100倍，得1250/105，其结果跟原来的除法相同。
数学实验
笔者用Flash编写了一个应用程序，让浏览者做一个数学实验，以验证上述讨论。使用者输入两个正整数后，程式便会计算这两个数相除的结果，计算进行至小数点后第1500位(使用者可用两个向上向下钮卷动计算结果)。由于本程序限制使用者输入的除数不得大于999，所以即使出现上述的「最差」情况，使用者也应能看到计算结果从小数点后哪一位开始出现循环。不过，在某些情况下，要看出小数点后哪一位开始出现循环有时也颇费神。各位可不妨试试让本程序算999/998，看看你是否看得出小数点后哪一位开始出现循环，以及循环数字包含哪些数字？如果没有上述的知识或这个程序，相信大多数人都会认为这个小数是不循环的。
请点击以下连结开启应用程序，该程序包含「使用说明」，浏览者只需依照说明上的指示便可使用该程序，请选择适合你计算机的程序。
无限循环小数应用程序(SWF文件)(你的计算机须安装Shockwave Flash软件，档案较小)
无限循环小数应用程序(EXE文件)(无需预先安装其它软件，但档案较大)
把无限循环小数化为分数
给定一个无限循环小数，我们是否能把它化为分数呢？其实方法也很简单，其关键在于利用「无限循环」这一点。例如，给定小数0.272727...，如何把它化为分数呢？我们可以先把它写成
1 x 0.272727... = 0.272727... (1)
由于这个小数包含两个循环数字，我们把它乘以100：
100 x 0.272727... = 27.2727... (2)
接着用(2)减(1)，利用无限循环的特点，把小数点后的数字全部去掉，得
99 x 0.272727... = 27 (3)
接着把(3)化简，得
0.272727... = 3/11
当循环数字并非包括小数点后所有数字时，我们便需要多一点工夫。例如要把小数0.11345345...化为分数，可以这样做：
100 x 0.11345345... = 11.345345...
100000 x 0.11345345... = 11345.345...
99900 x 0.11345345... = 11334
0.11345345... = 11334/99900 = 1889/16650
利用上述方法，我们还可以获得某些意想不到的结果。试把0.99...化为分数：
1 x 0.99... = 0.99...
10 x 0.99... = 9.99
9 x 0.99... = 9
0.99... = 1
于是，我们得到1的无限循环小数表达式除了是1.00...外，还可以是0.99...。事实上，我们可以证明，凡是「除得尽」的分数，除可表达为以无限个0结尾的循环小数外，还可表达为以无限个9结尾的循环小数。
是否存在无限不循环小数？
在以上的讨论中，我们在有理数(即分数)与无限循环小数间建立了一一对应关系。接着下来，我们要问，是否存在无限不循环小数？答案是肯定的，而且我们可以很容易地构造这样的小数。例如以下的小数便是无限不循环的：
0.101001000100001000001...
除了这些「人为」构造的数外，在中学我们还会学到很多这样的数，称为「无理数」(Irrational Number)(注3 )。例如，可以证明2的平方根、3的平方根、圆周率π、自然数底e等等都是无理数。事实上，从「集合论」( Set Theory)我们得知无理数的数目比有理数的数目多得多(注4)。不过由于本网页的主旨是有理数，笔者不在此讨论这些问题了。
注1：这里所指的循环并非指小数点后的所有数字均为循环数字，例如23/6的结果为3.8333...，这个小数的循环数字并不包含小数点后第1位的数字8。
注2：此一结果是初等数论(Number Theory)中著名的「除法演算Division Algorithm定理」。虽然我们在念小学和中学时不会正式学到数论的内容，但在我们进行无数次除法运算后，我们应能直观地自行「发现」此一定理。
注3：无理数的基本定义是不能表达为分数的实数。但由于在上面我们已看到分数等同于无限循环小数，所以我们可以得出以下结论：无理数就是无限不循环小数。
注4：套用集合论的说法，有理数集是「可数无穷集」(Countably Infinite Set)，而无理数集则是「不可数无穷集」(Uncountably Infinite Set)。

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第二题证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的. m,n为有理数,证明方程(m+n)x+m-(m-n)y+n=0 证明第二小题, 证明题的第二小题... 证明:x的平方等于3,则x不是有理数(用反证法)用设x=有理数=n/m (m,n)=1这个方法，证明：总存在只由0和1两个数组成的十进制数M,它是正整数N的倍数.如题,如：N=3,M=111；N=4,M=100；N=5,M=10；N=6,M=1110；.我知道你的意思：1,11,111,1111…中必有两个数模N余数相同（但是怎么证明得到 fibonacci问题证明：f(n)|f(m) 的充要条件是n|m这个题的第二问由F(n)|F(m)证n|m成立咋证明：F(n)=F(n-1)+F(n-2)F(1)=1;F(2)=1; （1）证明：F(n)=F(k)*F(n-k+1)+F(k-1)*F(n-k) (n>k>1);（2）证明：F(n)|F(m) 的充要条件是n|m 证明以下数列极限不存在.第一题 {cos n π}第二题 L i m (sin n) / (n的平方+1) =0 n到正无穷第二小题怎么证明第二小题怎么证明线性代数证明第二小题第二小题怎么证明向你请教一个高斯函数的证明题,证明n属于正整数,x是有理数,证明n[(n+1)x]>=(n+1)[nx] 高二组合数性质证明难啊!从n个取m+1个等于 n-1取m + n-2取m + n-3取m + ……+ m取m由于C几几不好打,我就这么说了,怎么证明呢?（高二数学书人教版第二册下B 120页第3-（2）小题）问两道二项式定理的题1 由[(√3)x+2^1/3]^100展开所得的x的多项式中,系数为有理数的共有A 15项 B 16项 C 17项 D 50项2 用二项式定理证明3^(2n+3)-24n+37能被64整除（n属于N+）求两道数论整除证明如图第二个 m>n第二题这样的话m,n就一直差１啊不能满足任意m>n吧数学证明题：证明,m的n次方小于n的m次方,其中3 导数＆不等式证明1、2两小题简单直接第三小题和第一第二题没什么联系的证明 In2/(2^2) + In3/(3^2) + In4/(4^2) + …… In n /(n^2) ＜ (n-1)(2n+1)/4(n+1)第二题证明 In n ＜ n-1应该和第三小题有联系

第二题 证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.

第二题证明:有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的.