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求05到09年的全国初中数学联赛试题
可能大家也都知道初中数学联赛开始报名了,我今年第一次参加,以前似乎……就小学奥数还蛮不错,上了初中就没碰过.所以,希望有经验,时间,和条件的帮帮忙,找一下历届数学联赛的试题,↖(^ω^)↗

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05年数学联赛
http://www.jzsx.com/swz/List.asp?ID=349
09年数学联赛
http://wenku.baidu.com/view/1140ac116c175f0e7cd137c8.html
02年到06年的联赛
http://zhongkao.tl100.com/UploadFiles_7836/200711/20071130090654804.doc
07年选拔赛
http://eblog.cersp.com/UploadFiles/2008/5-8/58606823.doc
08年江西决赛
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午8：30—9：30
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1、设a 2 + 1 = 3 a,b 2 + 1 = 3 b,且a ≠ b,则代数式 + 的值为（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如图,设AD,BE,CF为△ABC的三条高,若AB = 6,BC = 5,EF = 3,则线段BE的长为（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中,∠ABC = 12°,∠ACB = 132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定
5、现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10％或20％,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知实数x,y满足( x – ) ( y – ) = 2008,
则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1、设a = ,则 = .
2、如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,且AM = ,∠MAN = 135°,则四边形AMCN的面积为 .
3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且| m | + | n | ≤ 1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则| p | + | q | = .
4、依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串：149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 .
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1.
一、1、由题设条件可知a 2 – 3 a + 1 = 0,b 2 – 3 b + 1 = 0,且a ≠ b,
所以a,b是一元二次方程x 2 – 3 x + 1 = 0的两根,故a + b = 3,a b = 1,
因此 + = = = = 7；
2、因为AD,BE,CF为△ABC的三条高,易知B,C,E,F四点共圆,
于是△AEF∽△ABC,故 = = ,即cos∠BAC = ,所以sin∠BAC = .
在Rt△ABE中,BE = AB sin∠BAC = 6 × = ；
3、能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个,所以所组成的数是3的倍数的概率是 = ；
4、∵∠ABC = 12°,BM为∠ABC的外角平分线,∴∠MBC = ( 180° – 12° ) = 84°,
又∠BCM = 180° –∠ACB = 180° – 132° = 48°,∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°,∴BM = BC,又∠ACN = ( 180° –∠ACB ) = ( 180° – 132° ) = 24°,∴∠BNC = 180° –∠ABC –∠BCN = 180° – 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC,∴CN = CB,因此,BM = BC = CN；
5、容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为a,过了n天,n天后每种商品的价格一定可以
表示为a ∙ ( 1 – 10% ) k ∙ ( 1 – 20% ) n – k = a ∙ ( ) k ∙ ( ) n – k,其中k为自然数,且0 ≤ k ≤ n,要使r的值最小,五种商品的价格应该分别为：a ∙ ( ) i ∙ ( ) n – i,a ∙ ( ) i + 1 ∙ ( ) n – i – 1,a ∙ ( ) i + 2 ∙ ( ) n – i – 2,a ∙ ( ) i + 3 ∙ ( ) n – i – 3,a ∙ ( ) i + 4 ∙ ( ) n – i – 4,
其中i为不超过n的自然数,所以r的最小值为 = ( ) 4；
6、∵( x – ) ( y – ) = 2008,∴x – = =
y + ,y – = = x + ,
由以上两式可得x = y, 所以( x – ) 2 = 2008,解得x 2 = 2008,
所以3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1；
二、1、∵a 2 = ( ) 2 = = 1 – a,∴a 2 + a = 1,∴原式=
= = = – = – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2；
2、设BD中点为O,连AO,则AO⊥BD,AO = OB = ,MO = = ,
∴MB = MO – OB = .又∠ABM =∠NDA = 135°,
∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135° – 90° –∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB,
所以△ADN∽△MBA,故 = ,从而DN = ∙ BA = × 1 = ,根据对称性可知,
四边形AMCN的面积S = 2 S△MAN = 2 × × MN × AO = 2 × × ( + + ) × = ；
3、根据题意,m,n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0的两根,所以m + n = – a,m n = b.
∵| m | + | n | ≤ 1,∴| m + n | ≤ | m | + | n | ≤ 1,| m – n | ≤ | m | + | n | ≤ 1.
∵方程x 2 + a x + b = 0的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0,∴b ≤ = ≤ .
4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1,故b ≥ – ,等号当m = – n = 时取得；4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1,故b ≤ ,等号当m = n = 时取得.所以p = ,q = – ,于是| p | + | q | = ；
4、1 2到3 2,结果都只各占1个数位,共占1 × 3 = 3个数位；4 2到9 2,结果都只各占2个数位,共占2 × 6 = 12个数位；10 2到31 2,结果都只各占3个数位,共占3 × 22 = 66个数位；32 2到99 2,结果都只各占4个数位,共占4 × 68 = 272个数位；100 2到316 2,结果都只各占5个数位,共占5 × 217 = 1085个数位；此时还差2008 – ( 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) = 570个数位.317 2到411 2,结果都只各占6个数位,共占6 × 95 = 570个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是411 2的个位数字,即为1；
2008年全国初中数学联赛
2008年4月13日上午10：00—11：30
第二试 （A）
一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x,不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1）恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值.
整理不等式（1）并将a 2 + b 2 = 1代入,得( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2）,
在（2）中,令x = 0,得a ≥ 0；令x = 1,得b ≥ 0.易知1 + a + b > 0,0 < < 1,
故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥ .由方程组 （3）
消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2 = 或a 2 = .又因为a ≥ 0,
所以a 1 = 或a 2 = ,于是b 1 = 或b 2 = .所以a b的最小值为 ,此时a,b的值分别为a = ,b = 和a = ,b = .
二、（本题满分25分）如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB = BC.
（1）证明：点O在圆D的圆周上；
（2）设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.
（1）连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心,AB = BC,所以△OBA∽△OBC,从而∠OBA =∠OBC,因为OD⊥AB,DB⊥BC,所以∠DOB = 90° –∠OBA = 90° –∠OBC =∠DBO,所以DB = DO,因此点O在圆D的圆周上；
（2）设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE⊥AC.设AC = 2 y（0 < y ≤ a）,OE = x,AB = l,则a 2 = x 2 + y 2,S = y ( a + x ),
l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) = .
因为∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO,AB = BC,DB = DO,所以△BDO∽△ABC,
所以 = ,即 = ,故r = ,所以r 2 = = ∙ = ∙ ( ) 3 ≥ ,即r ≥ ,其中等号当a = y时成立,这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为 .
三、（本题满分25分）设a为质数,b为正整数,且9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1）
求a,b的值.
（1）式即( ) 2 = ,设m = ,n = ,则n = m 2,
b = = （2）,故3 n – 511 m + 6 a = 0,所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3）,由（1）式可知,( 2 a + b ) 2能被质数509整除,于是2 a + b能被509整除,故m为整数,
即关于m的一元二次方程（3）有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数.
不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数）,则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),
由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况：
① ,② ,③ ,④ ,两式相加分别得
36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解；
⑤ ,⑥ ,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251；
2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 × 29不是质数,故舍去.综合可知a = 251.
此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）.
把a = 251,m = 3代入（2）式,得b = = 7.
第二试 （B）
一、（本题满分20分）已知a 2 + b 2 = 1,对于满足条件x + y = 1,x y ≥ 0的一切实数对( x,y ),不等式a y 2 – x y + b x 2 ≥ 0 （1）恒成立,当乘积a b取最小值时,求a,b的值.
由x + y = 1,x y ≥ 0可知0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1.在（1）式中,令x = 0,y = 1,得a ≥ 0；令x = 1,y = 0,得b ≥ 0.将y = 1 – x代入（1）式,得a ( 1 – x ) 2 – x ( 1 – x ) + b x 2 ≥ 0,
即( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2）,易知1 + a + b > 0,0 < < 1,
故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式（2）对于满足条件0 ≤ x ≤ 1的一切实数x恒成立,
所以它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0,即a b ≥ .由方程组 （3）消去b,得16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0,所以a 2 = 或a 2 = .又因为a ≥ 0,
所以a 1 = 或a 2 = ,于是b 1 = 或b 2 = .所以a b的最小值为 ,此时a,b的值分别为a = ,b = 和a = ,b = .
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三、（本题满分25分）设a为质数,b,c为正整数,且满足 ,求a ( b + c )的值.
（1）式即( ) 2 = ,设m = ,n = ,则2 b – c = = （3）,故3 n – 511 m + 6 a = 0,又n = m 2,
所以3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （4）,由（1）式可知,( 2 a + 2 b – c ) 2能被509整除,
而509是质数,于是2 a + 2 b – c能被509整除,故m为整数,
即关于m的一元二次方程（4）有整数根,所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数.
不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ 为自然数）,则72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t ),
由于511 + t和511 – t的奇偶性相同,且511 + t ≥ 511,所以只可能有以下几种情况：
① ,② ,③ ,④ ,两式相加分别得
36 a + 2 = 1022,18 a + 4 = 1022,12 a + 6 = 1022,6 a + 12 = 1022,均没有整数解；
⑤ ,⑥ ,两式相加分别得4 a + 18 = 1022,解得a = 251；
2 a + 36 = 1022,解得a = 493,而493 = 17 × 29不是质数,故舍去.综合可知a = 251.
此时方程（3）的解为m = 3或m = （舍去）.
把a = 251,m = 3代入（3）式,得2 b – c = = 7,即c = 2 b – 7,代入（2）式得b – ( 2 b – 7 ) = 2,所以b = 5,c = 3,因此a ( b + c ) = 251 × ( 5 + 3 ) = 2008.
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