设y=arcsinx,证明：（1-x^2）y"-xy'=0,并求y^（n）（0）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 16:55:27

设y=arcsinx,证明：（1-x^2）y"-xy'=0,并求y^（n）（0）
【说明】我将y^（n）（0）认为是函数y=arcsinx的n阶导数在x=0时的值,下面所有叙述中^均表示高阶导数.
【解】先求y=arcsinx的一阶导数
y'=1/根号（1-x的平方）
再求y=arcsinx的二阶导数
y"=x/二分之三次根（1-x的平方）
将上述两式代入（1-x的平方）y"-xy'中,容易得出：（1-x的平方）y"-xy'=0
第二问较麻烦
利用上面证明得到的：（1-x的平方）y"-xy'=0,使用莱布尼兹公式
（1-x的平方）y^(n+2)-2nxy^(n+1)-n(n-1)y^n-xy^(n+1)-ny^n=0【式中^表示高阶导数】
因为你求的是x=0时的高阶导数,将x=0代入上式,得：
y^(n+2)-n(n-1)y^n-ny^n=0
去括号等简单运算：y^(n+2)=n的平方倍y^n
由于当x=0时：y'=1,y"=0
所以：当 n为偶数时,y^（n）（0）=0
当n为奇数时,y^（n）（0）=（n-1)的平方y^（n-1）（0）
=（n-1)的平方(n-3)的平方y^（n-3）（0）
=……
=(1*3*5*…… n)的平方
【OK】

设y=arcsinx,证明：（1-x^2）y-xy'=0,并求y^（n）（0）证明arctanx=arcsinx/(1+x^2)^0.5.回复Y 证明：arcsinX+arccosX=X/2,X∈[-1,1] 证明：arcsinX+arccosX=X/2,X∈[-1,1] 证明：arcsinx+arccosx=π/2,x∈[-1,1] 证明cos(arcsinx)=根号（1-x^2）证明arctanx=arcsinx/(1+x^2)^0.5 如何证明arctanx=arcsinx/（1+x^2）^0.5 Y=x√(1-x^2 )+arcsinx,dy=? y=arcsinx+x√1-x^2的导数 y=(arcsinx)^2+2arcsinx-1的最值求导 y=(arcsinx)/(根号(1-x^2)) y=x×2^arcsinx 求dy 设y=arcsinx^2则dy= 1/arcsinx的导数设arcsinx=u,按负荷函数求导法,所求导数为1/u的导数乘以arcsinx的导数,这一步可以理解.下一步答案是-1/(arcsinx)^2√(1-x^) 是为什么呢? 证明 cos（arcsinx）=√1-x² 证明x属于[0,1]时'arcsinx+arcsin根号下1-x^2=派／2 证明arctanx=arcsinx/(1+x^2)^1/2,x属于负无穷到正无穷.