在数列{an}中,已知a1=5/6,a2=19/36,且数列log2(a2-a1/3),log2(a3-a2/3),……,log2(an+1-an/3),……是公差为-1的等差数列,而数列a2-a1/2,a3-a2/2,……,an+1-an/2,……是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通项公式.(为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/10 19:40:15
在数列{an}中,已知a1=5/6,a2=19/36,且数列log2(a2-a1/3),log2(a3-a2/3),……,log2(an+1-an/3),……
是公差为-1的等差数列,而数列a2-a1/2,a3-a2/2,……,an+1-an/2,……是公比为1/3的等比数列,求数列{an}的通项公式.(为问题的剩余部分)希望有具体详细的过程,讲清原理.
这题用到方程思想:
公差为-1的等差数列:
log2(an+1-an/3)=log2(a2-a1/3)-(n-1)
运算去除对数符号得:an+1-an/3=(1/2)^n+1..(1)
公比为1的等比数列:
an+1-an/2=(a2-a1/2)*(1/3)^n-1
化简:an+1-an/2=(1/3)^n+1.(2)
由(1)(2)联立解得
an=3/2^n-2/3^n
分析:由数列{log2(an+1-an/3(an))}为等差数列及等差数列的通项公式,可求出an+1与an的一个递推关系式①;由数列{an+1-an/2(}为等比数列及等比数列的通项公式,可求出an+1与an的另一个递推关系式②.解两个关系式组成的方程组,即可求出an.
∵数列{log2(an+1-an/3)}是公差为-1的等差数列,
∴log2(an+1-an/3)=log2(a...
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分析:由数列{log2(an+1-an/3(an))}为等差数列及等差数列的通项公式,可求出an+1与an的一个递推关系式①;由数列{an+1-an/2(}为等比数列及等比数列的通项公式,可求出an+1与an的另一个递推关系式②.解两个关系式组成的方程组,即可求出an.
∵数列{log2(an+1-an/3)}是公差为-1的等差数列,
∴log2(an+1-an/3)=log2(a2-a1/3)+(n-1)(-1)=log2(19/36-1/3×5/6)-n+1=-(n+1),于是有an+1-an/3=2-(n+1).①
又∵数列{an+1-an/2}是公比为1/3的等比数列,
∴an+1-an/2=(a2-a1/2)·3-(n-1)=(19/36-1/2×5/6)·3-(n-1)=3-(n+1).
于是有an+1-an/2=3-(n+1).②
由①-②可得an/6=2-(n+1)-3-(n+1),
∴an=3/2n-2/3n(n是指n次方)
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