数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx不会做的半桶水的别回答别碍事!答案是2π/32sint是奇函数,但是e^(2sint)不是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/12 21:42:28
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx
不会做的半桶水的别回答别碍事!
答案是2π/3
2sint是奇函数,但是e^(2sint)不是
被积函数是偶函数,把区间放大到 [-pi,pi] 后积分也变成原来的2倍
注意到
e^(2cosx)cos(2sinx) = Re[e^(2e^{ix})]
所以只需计算出 I = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix})cos(3x) dx 即可
(可以理解为对 I 取实部,也可以利用奇偶性直接看出虚部为 0)
再注意到
e^(2e^{ix})cos(3x)=[e^(2e^{ix}+3ix)+e^(2e^{ix}-3ix)]/2
问题进一步转化为计算
I_1 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}+3ix) dx
I_2 = \int_{-pi}^pi e^(2e^{ix}-3ix) dx
对于 I_1,做代换 z = e^{ix} 得到一个整函数的围道积分,所以 I_1 = 0
对于 I_2,同样做代换 z = e^{ix} 得到
I_2 = -i \int_C e^{2z}/z^4 dz
其中 C 是单位圆周
利用 Cauchy 高阶导数公式,e^{2z} 在 z=0 处的 3 阶导数是 3I_2/pi,所以 I_2 = 8pi/3
代回去得到答案是 2pi/3
碰到复杂的三角函数积分可以尝试换元, 然后利用函数奇偶性求解.
碰到复杂的三角函数积分可以尝试换元, 然后利用函数奇偶性求解
求cosx乘e^x定积分从0到π/2定积分
数学定积分问题∫(0到π) e^(2cosx)cos(2sinx)cos(3x) dx不会做的半桶水的别回答别碍事!答案是2π/32sint是奇函数,但是e^(2sint)不是
定积分∫0到1,y^2*e^-ydy
数学:定积分 ∫(0到π)sinxdx
定积分的计算∫e^t^2dt=?积分范围是0到x
求定积分e^sinx/(e^sinx+e^cosx)求解f(x)= e^sinx/(e^sinx+e^cosx) 在(0,π/2)上的定积分我说的积分(0,π/2)就是从0积分到π/2
定积分的大小比较问题为什么(e^(x^2))sinx在pai到2pai上的定积分小于0?
2.计算定积分 ∫π/2到0 xcosxdx
求定积分的高数问题,∫[1-->e]x乘以e的-x次方dx=?定积分 ∫xe^(-x)dx 区间1到e
求定积分∫ 2x^2e^(-2x) dx (0到正无穷)
∫x^2*e^x^2dx求0到1的定积分
计算定积分∫e^(-x^2),区间0到正无穷
求解定积分∫e^(ax) cos(4x) dx 积分上下限为0到 π求过程
定积分的问题,∫ x lnx dx e到1
定积分从0到e ∫(0,e)dx=e-1 怎么得出的
0到e 的定积分e ^√x
定积分的一道问题,积分号 1到0 根号(2x-x^2)
求定积分的问题 要求ln(1+tantx)在0到π/4 上的定积分