已知abc属于正整数,a*b*c=1,求证1/a2+1/b2+/c2≥a+b+c无
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 21:15:55
已知abc属于正整数,a*b*c=1,求证1/a2+1/b2+/c2≥a+b+c
无
等式两边同时乘以(ABC)² 有(BC)²+(AC)²+(AB)²≥A+B+C (ABC=1 我就没乘)
等价于 2【(BC)²+(AC)²+(AB)²】≥2(A+B+C) ④
又 (BC)²+(AC)²≥2√A²B²C的四次方=2C ①
同理 BC²+AB²≥2B ② AC²+AB²≥2A ③
①+②+③ 得到 ④ 所以得证
这道题可以用分析法证明好一点~
确定题没错?a=b=c=1
a*b*c=1,得a=1/bc 带入原式得 b2c2+1/b2+1/c2≥1/bc+b+c
即证明b2c2+1/b2+1/c2-1/bc-b-c≥0
2(b2c2+1/b2+1/c2-1/bc-b-c)≥0
2b2c2+2/b2+2/c2-2/bc-2b-2c≥0
左边= (b2c2+1/b2...
全部展开
a*b*c=1,得a=1/bc 带入原式得 b2c2+1/b2+1/c2≥1/bc+b+c
即证明b2c2+1/b2+1/c2-1/bc-b-c≥0
2(b2c2+1/b2+1/c2-1/bc-b-c)≥0
2b2c2+2/b2+2/c2-2/bc-2b-2c≥0
左边= (b2c2+1/b2-2c)+(b2c2+1/c2-2b)+(1/b2+1/c2-2/bc)
=(bc-1/b)2+(bc-1/c)2+(1/b-1/c)2
所以易知左边≥0 即b2c2+1/b2+1/c2≥1/bc+b+c
收起